2.7 Ejercicios de Ecuaciones Cuadráticas — Resolución Paso a Paso
Método 1: Factorización
Ejercicio 1
Ecuación: x² - 5x + 6 = 0
- Paso 1: Identifica dos números que multipliquen 6 y sumen -5 → -2 y -3.
- Paso 2: Reescribe el término medio: x² - 2x - 3x + 6 = 0.
- Paso 3: Agrupa: (x² - 2x) - (3x - 6) = 0.
- Paso 4: Factoriza por grupos: x(x - 2) - 3(x - 2) = 0.
- Paso 5: Extrae factor común: (x - 2)(x - 3) = 0.
- Paso 6: Igual a cero cada factor: x - 2 = 0 o x - 3 = 0.
Soluciones: x = 2 y x = 3.
Ejercicio 2
Ecuación: 2x² + 7x + 3 = 0
- Paso 1: Busca dos números que multipliquen a 2·3 = 6 y sumen 7 → 6 y 1.
- Paso 2: Separa el término medio: 2x² + 6x + x + 3 = 0.
- Paso 3: Agrupa: (2x² + 6x) + (x + 3) = 0.
- Paso 4: Factoriza: 2x(x + 3) + 1(x + 3) = 0.
- Paso 5: Extrae común: (x + 3)(2x + 1) = 0.
- Paso 6: Resuelve: x = -3 o x = -1/2.
Soluciones: x = -3 y x = -0.5.
Método 2: Fórmula general
Ejercicio 1
Ecuación: x² - 3x - 10 = 0 (a=1, b=-3, c=-10)
- Paso 1: Calcula Δ = b² - 4ac = 9 - 4(1)(-10) = 49.
- Paso 2: Aplica la fórmula: x = [ -b ± √Δ ] / (2a) = [ 3 ± 7 ] / 2.
- Paso 3: Obtén ambas raíces: x = (3+7)/2 = 5; x = (3-7)/2 = -2.
Soluciones: x = 5 y x = -2.
Ejercicio 2
Ecuación: 3x² - 5x - 2 = 0 (a=3, b=-5, c=-2)
- Paso 1: Δ = (-5)² - 4(3)(-2) = 25 + 24 = 49.
- Paso 2: x = [ 5 ± √49 ] / (2·3) = (5 ± 7)/6.
- Paso 3: x₁ = 12/6 = 2; x₂ = -2/6 = -1/3.
Soluciones: x = 2 y x = -1/3.
Método 3: Completación de cuadrados
Ejercicio 1
Ecuación: x² + 6x + 5 = 0
- Paso 1: Traslada el término independiente: x² + 6x = -5.
- Paso 2: Mitad de 6 es 3; eleva al cuadrado: 3² = 9.
- Paso 3: Suma 9 a ambos lados: x² + 6x + 9 = 4.
- Paso 4: Escribe cuadrado perfecto: (x + 3)² = 4.
- Paso 5: Extrae raíz: x + 3 = ±2 → x = -3 ± 2.
Soluciones: x = -1 y x = -5.
Ejercicio 2
Ecuación: 2x² + 8x - 10 = 0
- Paso 1: Divide entre 2: x² + 4x - 5 = 0 → x² + 4x = 5.
- Paso 2: Mitad de 4 es 2; 2² = 4. Suma 4: x² + 4x + 4 = 9.
- Paso 3: (x + 2)² = 9.
- Paso 4: x + 2 = ±3 → x = 1 o x = -5.
Soluciones: x = 1 y x = -5.
Método 4: Extracción de raíz cuadrada
Ejercicio 1
Ecuación: (x - 3)² = 16
- Paso 1: Toma raíz en ambos miembros: x - 3 = ±4.
- Paso 2: Despeja: x = 3 ± 4.
Soluciones: x = 7 y x = -1.