2.3 Método de completación de cuadrados
Transformando una ecuación cuadrática en un cuadrado perfecto
Introducción
El método de completación de cuadrados permite resolver una ecuación cuadrática transformando su trinomio en una expresión del tipo (x + p)² = q. Este método es fundamental porque es la base del desarrollo posterior de la fórmula general.
Idea fundamental
Si se tiene una ecuación cuadrática de la forma x² + bx + c = 0, el objetivo es modificarla hasta obtener
una igualdad del tipo (x + p)² = q, para luego extraer raíces cuadradas y encontrar los valores de x.
Pasos para aplicar el método
- Si el coeficiente del término cuadrático no es 1, divide toda la ecuación entre “a”.
- Pasa el término constante al segundo miembro de la igualdad.
- Toma la mitad del coeficiente de “x”, elévalo al cuadrado y agrégalo en ambos miembros.
- Escribe el trinomio como un cuadrado perfecto en el primer miembro.
- Extrae la raíz cuadrada en ambos lados y despeja la variable “x”.
Ejemplo práctico
Ecuación: x² + 6x + 5 = 0
- Paso 1: Trasladamos el 5 al otro lado → x² + 6x = -5
- Paso 2: Tomamos la mitad de 6 (que es 3) y la elevamos al cuadrado: 3² = 9
- Paso 3: Sumamos 9 a ambos lados → x² + 6x + 9 = -5 + 9
- Paso 4: El primer miembro se convierte en (x + 3)² = 4
- Paso 5: Extraemos la raíz cuadrada → x + 3 = ±2
- Paso 6: Despejamos → x = -3 ± 2
- Por tanto, las soluciones son x₁ = -1 y x₂ = -5.
Observación
Este método es útil cuando los coeficientes facilitan la creación de un trinomio cuadrado perfecto. También puede aplicarse aunque los valores sean fraccionarios o decimales, manteniendo la simetría algebraica.
Actividad de práctica
Aplica el método de completación de cuadrados para resolver las siguientes ecuaciones:
- x² + 4x - 5 = 0
- x² - 8x + 3 = 0
- 2x² + 6x - 8 = 0
Sugerencia: trabaja con cuidado los pasos intermedios y verifica que el trinomio obtenido sea un cuadrado perfecto.