2.4 Método de la fórmula general
Resolviendo ecuaciones cuadráticas mediante una fórmula universal
Introducción
El método de la fórmula general permite resolver cualquier ecuación cuadrática, sin importar si sus coeficientes son enteros, fraccionarios o decimales. Esta fórmula se obtiene aplicando el método de completación de cuadrados a la forma general ax² + bx + c = 0.La fórmula general
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El valor dentro de la raíz, b² - 4ac, se llama discriminante. Este número determina cuántas soluciones reales tiene la ecuación.
Pasos para aplicar la fórmula
- Identificar los coeficientes a, b y c de la ecuación.
- Sustituir los valores en la fórmula general.
- Calcular el discriminante b² - 4ac.
- Evaluar la raíz cuadrada y continuar con las operaciones.
- Obtener los dos posibles valores de x (sumando y restando).
Ejemplo práctico
Ecuación: 2x² - 3x - 2 = 0
- a = 2, b = -3, c = -2
- Discriminante: (-3)² - 4(2)(-2) = 9 + 16 = 25
- x = [3 ± √25] / (2·2)
- x = [3 ± 5] / 4
- x₁ = (3 + 5)/4 = 8/4 = 2
- x₂ = (3 - 5)/4 = -2/4 = -0.5
Por tanto, las soluciones son x₁ = 2 y x₂ = -0.5.
Observación
El signo ± indica que existen dos soluciones posibles. Si el discriminante es negativo, las soluciones no son reales, sino números imaginarios.
Actividad de práctica
Resuelve las siguientes ecuaciones utilizando la fórmula general. Calcula el discriminante en cada caso y analiza el tipo de solución:
- x² + 2x - 8 = 0
- 3x² - 4x + 1 = 0
- 2x² + 5x + 3 = 0
Consejo: realiza los cálculos paso a paso para verificar el efecto del discriminante en las soluciones.