2.5 El discriminante y su interpretación
Analizando el tipo de soluciones de una ecuación cuadrática
En la fórmula general de las ecuaciones cuadráticas, el valor que se encuentra dentro de la raíz (b² - 4ac) se denomina discriminante y se representa con la letra griega Δ (delta). Este número nos indica cuántas soluciones reales tiene una ecuación cuadrática y de qué tipo son.
Δ = b² - 4ac
Interpretación del discriminante
| Valor de Δ | Tipo de soluciones | Interpretación |
|---|---|---|
| Δ > 0 | Dos soluciones reales distintas | La ecuación corta el eje x en dos puntos diferentes. |
| Δ = 0 | Una sola solución real (doble) | Ambas raíces son iguales; la ecuación toca el eje x en un solo punto. |
| Δ < 0 | No tiene soluciones reales | Las raíces son números complejos (imaginarios). |
Ejemplo práctico
Ecuación: x² - 4x + 4 = 0
Coeficientes: a = 1, b = -4, c = 4
Calculamos el discriminante:
Δ = (-4)² - 4(1)(4) = 16 - 16 = 0
Interpretación: Como Δ = 0, la ecuación tiene una única solución real doble: x = 2.
Observaciones
- El discriminante permite anticipar el tipo de soluciones sin resolver la ecuación completa.
- Un discriminante positivo no solo indica dos soluciones reales, sino también que la parábola asociada (si se representara) cruzaría el eje x.
- Si el discriminante es negativo, las soluciones no son reales, aunque siguen existiendo en el conjunto de los números complejos.
Actividad de práctica
Calcula el discriminante e interpreta el tipo de soluciones para las siguientes ecuaciones:
- x² + 3x - 10 = 0
- 4x² + 4x + 1 = 0
- 5x² - 2x + 3 = 0
Sugerencia: Determina primero los valores de a, b y c, luego calcula Δ = b² - 4ac e interpreta el resultado según la tabla.